修复量子理论核心致命缺陷的秘密可能隐藏在20世纪80年代让·埃卡勒（Jean Écalle）的三本晦涩的著作中。但物理学家们忽略了其中可能具有变革性的思想，因为书中充满了原创数学对象和奇特的用词。诸如“超级级数”、“可分析胚胎”、“异类导数”和“加速求和”这样古怪的术语比比皆是。而在这些数学中，可能包含了克服物理学上的一个困境所需的东西。

时至今日，物理学家已经学会对亚原子世界做出令人叹为观止的准确预测。但是，这些预测虽然精确，但只是近似值。如果寻求绝对精确度，教科书中的量子理论就会崩溃，产生无穷大的答案——许多物理学家认为这些答案是数学垃圾。

但现在，通过仔细研究那三本教材，物理学家发现了一种名为回升（resurgence）的数学理论。这一理论让物理学家意识到这些无穷大答案包含着无数宝藏，能让他们从任何无穷大中挖掘出任何量子问题的有限且无瑕疵的答案。

回升理论研究社群虽然规模较小，但多年来取得了稳步的进展。这个技术的原型版本在量子力学中已经获得了精确结果，而量子力学本身仅限于描述粒子的行为。更为复杂数学方法的发展使得一些物理学家能够深入探讨量子场论，甚至近期的弦论。然而，这只是回升理论实践者所怀有的宏大梦想的开始。他们的目标不仅仅是在物理理论中寻找一种全新的处理无穷大问题的方法，还希望这种方法能在理论和实践中更好地匹配我们的有限世界。

发散的可能性

量子场论迫使物理学家直面无穷大问题。这些量子场是难以想象的复杂体系——在看似空无一物的空间中，瞬态波动和相干波动不断翻滚。从原则上讲，这些短暂波动可以在任何时刻、任何数量和任何能量下出现，这给物理学家带来了挑战，他们需要解释无尽的亚原子相互作用，以便理解甚至简单实验的精确结果。

在20世纪40年代，朝永振一郎（Shin'ichirō Tomonaga）、朱利安·施温格（Julian Schwinger）和理查德·费曼（Richard Feynman）都研究出了从量子电磁场的无穷复杂性中得出有限答案的等效方法。如今最为人所知的是费曼的方法，计算采用无穷多的“费曼图”来表示越来越复杂的量子可能性。首先从最简单的事件图开始（例如，电子穿过空间），并计算某个可测量的性质，比如电子在磁场中的摆动程度。接下来，将结果添加到更复杂的情景中，例如电子在飞行过程中短暂地释放然后再吸收一个光子。然后添加涉及两个瞬态波动的亚原子过程，然后是三个，依此类推，这种广泛应用的数学技术被称为微扰理论（perturbation theory）。

 

这种计算会产生一个无穷“幂级数”：

 

对于电磁场，x 的值是自然界的一个关键常数（即α），接近 1/137。这是一个相对较小的数字，适合表示力的相对弱度，将这个微小的数字提高到更大的幂使得各项迅速缩小。

费曼图为物理学家提供了每一项的系数——即a的值——这是计算中的难点。以电子的“g因子”为例，这是一个与粒子在磁场中摆动方式有关的数字。最简单的费曼图给出了 a_0，它恰好等于2。但是，如果考虑到稍微复杂一些的费曼图，比如第一个瞬态波动出现的情况，就需要计算 a_1 这一项，这也是无穷大开始出现的地方。朝永振一郎、施温格和费曼设计了一种使这一项有限的方法。他们计算得到的电子g因子约为2.002，这与当时的实验测量结果相符，证明了量子场论是有意义的，并使他们三人获得了1965年的诺贝尔物理学奖。

他们的方法也开启了一个新时代，在这个时代里，物理学家必须攀登越来越高的费曼图山，以便计算更多的a值。这些山很陡峭，增长得非常快。2017年，一位物理学家完成了长达20年的作品，精确计算了电子的g因子，这需要从891个费曼图中计算复杂的方程。结果仅揭示了该级数的第五项。